Marion König1
Was ist Mathematik?

 

Vorlage zur Konferenz an der Grundschule Harmonie 20.11 1998

 

 

 

Vorbetrachtungen

 

Versuch einer Definition

 

 

Mathematik ist reichhaltiger und lebendiger Teil der menschlichen Kultur“ Keith Devlin2

 

 

 

Als geschichtlich gewachsene Wissenschaft unterlag Mathematik Veränderungen

 

Bis 500 v. Chr.: Ägyptische und babylonische Mathematik, Studium der Zahlen

 

500 v. Chr. Bis 300 n. Chr.: griechische Mathematik, Geometrie, Studium der Zahlen und Formen

 

16. - 17. Jahrhundert: Kepler, Galilei, Universale Erkenntnisse

 

17. Jahrhundert: Leibniz (Deutschland), Newton (England), Entdeckung der Differenzial- und Integralrechnung, Analysis, Berechnung der Bewegung, Mathematik als Studium von Zahlen, Formen, Bewegungen, Veränderungen und dem Raum

 

18. - 19. Jahrhundert: Anwendung der Analysis auf die Physik, Mathematik als Lehre der Zahlen, der Formen, der Bewegungen, der Veränderungen, dem Raum und den mathematischen Werkzeugen

 

Ab 20. Jahrhundert: Drastische Zunahme der mathematischen Aktivitäten, Mathematik als Wissenschaft von den Mustern

 

 

 

Überlegungen dazu: Abstrakte Muster sind entweder wirklich oder vorgestellt, sichtbar oder gedacht, statisch oder dynamisch, …

 

Sie sind eigentliche Essenz der Gedanken, der Kommunikation, der Gesellschaft, des Lebens schlechthin.

 

 

 

Mathematik ist „die Sprache, in der das große Buch der Natur geschrieben ist“ (Galileo)

 

 

 

Noch immer ist der alte Streit der Mathematiker nicht beigelegt: Ist ihre Wissenschaft eine Entdeckung oder eine Erfindung? Wenn der Mensch die Mathematik entdeckt hat, so lautet die Meinung des einen Lagers, dann muss sie als eine Art höherer Ordnung in der Welt existieren. Sie muss in der Welt, in den Atomen, im Kosmos vor dem Menschen bereits vorhanden gewesen sein. Im anderen Lager … geht es weniger kosmisch zu. Hier gilt die mathematische Ordnung nicht als Naturgesetz, sondern als Schöpfung des menschlichen Verstandes.

 

Es sind Zahlen „ die dem Menschen seine heutige Macht über die Natur und deren Kräfte gegeben haben. Woher kommt ihre Macht? Wir können es nur vermuten. Eine Möglichkeit ist, … das immer nur das übrig bleibt, was sich im wirklichen Leben bewährt oder wenigstens bestätigt. Eine 2. Möglichkeit ist, dass der Mensch, wenn er Mathematik treibt, gar keine andere Ordnung erfinden kann als die Ordnung des Weltall selbst,da er ja von diesem Weltall hervorgebracht wurde. Wie immer es auch sei, wir werden es möglicherweise niemals erfahren.“ (E,Deissinger)3

 

 

 

... die Fehlbarkeit, die der menschlichen Erkenntnis eigen ist, trägt auch zu dem wesentlichen Indeterminismus unseres Universums bei, ganz abgesehen davon, dass sie die Offenheit und Unerkennbarkeit eines Universums zeigt, dass die menschliche Erkenntnis als Teil seiner selbst enthält.“ (Karl Popper)4

 

 

 

Die Mathematik ist der Schlüssel, der das Schloss des Universums öffnen kann.“ (J. Polkinghorn)5

 

 

 

Mathematik in der Natur
Die Idee der Sphärenharmonie – wie oben, so unten

 

Metamathemaik

 

 

Der Weg der Zahl 7 durch die verschiedenen Kulturen

 

Zahlen erzählen von der Geschichte des Lebens. Zwischen der ZAHL und dem ErZÄHLen besteht ein tiefgründiger Zusammenhang6. Daher sind die Zahlen auch symbolischer Niederschlag kosmischer Gesetze auf unseren Geist. Sie bauen eine Brücke zum Verständnis des inneren Lebens.

 

 

 

Eine Beispielsammlung:
Bei der Untersuchung der Tonleiter und der musikalischen Harmonie hatten die Pythagoräer entdeckt, dass die Töne in einem ganzzahligen Verhältnis zu einander standen.


„Eng verwandt mit Klang und Ton ist die Welt der Formen. Die Schwingungsmuster von Klängen können stets als geometrische Konfigurationen sichtbar gemacht werden. … Jedem Ton und jedem Klang entspricht die eigene Form.“ (Heinrich Benedikt7)

 

 

 

Jeder Ton kann in eine ganze Serie von Obertönen aufgespalten werden. Daraus sind die Tonreihen unserer europäischen Musik entstanden. Sieben Töne bilden die Grundskala in der Musik. Dem entspricht die Aufspaltung des weißen Lichts in sieben Regenbogenfarben.

 

Nicht zufällig taucht die Zahl Sieben allein im alten und neuen Testament mehr als 1000mal auf (7 Todsünden, 7 Weltwunder, 7 Weltmeere ...). Es überrascht nicht, dass zur damaligen Zeit sieben Wandelsterne am Himmel gesichtet wurden.

 

 

 

Die Zahl 7 kommt ja auch im Märchen häufig vor. Sieht man genauer hin, so tritt sie immer in ganz bestimmten Zusammenhängen auf. Oft, wenn Heldin oder Held im Märchen in geheimnisvolle Entwicklungen ihrer Seele verstrickt sind, wird diese in 7 Stufen, Gebärden oder Qualitäten gefasst.
Die 7 offenbart das Geheimnis der Zeit und die Verknüpfung der Entwicklung der menschlichen Seele mit diesem Zeitengeheimnis.“ (Gisela Gorrissen8)

 

 

 

Noch heute können wir erleben, dass die Regeneration nach einer Verletzung oder einem akuten Krankheitserlebnis einem 7-Tage-Rhythmus folgt, d.h. Bei medikamentös unbeeinflusster Heilung treten z.b. bei Schwellungen im Verletzungsgebiet oder Schmerzen in Abwechslung und rhythmischer Folge alle 7 Tage bis zur vollständigen Heilung wieder auf.“ (Olaf Titze9)

 

 

 

Der häufigste Gebrauch der astronomischen Zahl 7 geht auf zwei Naturbeobachtungen zurück:Zum einen auf die Beobachtung des Mondes und dabei dem Auftreten der 7 als dem vierten Teil von 28, der gesamten Mondphasendauer. Zum anderen auf die sieben antiken Planeten Mond,Sonne, Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn.“ (Dietmar Guderian10)

 

 

 

Menschliche und außermenschliche Rhythmen

 

 

Umlaufdaten einiger Nachbarplaneten

 

 

synodischer Umlauf des Mondes 29 Tage 12 Stunden 44´,2,8´´

 

siderischer Umlauf des Mondes 27 Tage 7 Stunden, 43´, 11,4´´

 

(d.h. aus der Sicht der Erde hinkt der Mond nach, 13. Mondlauf

 

12x29,5 0354, 12x27,3=355)

 

 

 

siderischer Umlauf des Jupiters ca. 12 Jahre
(daraus folgt der Jupiter benötigt die 12fache Zeit, um seinen siderischen Umlauf um die Sonne zu beenden, wie der Mond um die Sonne)

 

 

 

synodischer Umlauf der Venus 584 Tage

 

siderischer Umlauf der Venus 224,6 Tage

 

(365 Tage x 8 = 584 Tage x 5 = 2920 Tage;

 

die Venus macht in 8 Jahren 5 Schleifen am Himmel von der Erde aus gesehen)

 

In 8 Jahren vollbringt die Venus 13 Sonnenumläufe:

 

8:13 = 6,01531, genau das Verhältnis des Goldenen Schnitts, Teilungsfaktor 0,618

 

 

 

Goldener Schnitt

 

Erklärung: Unter dem Goldenen Schnitt – bei den Griechen bekannt als harmonische Teiung einer Strecke AB - versteht man eine Teilung derart, dass sich die kürzere Teilstrecke zur langen verhält wie die längere zur ganzen Strecke.

 

 

 

Die Griechen fanden, dass der Goldene Schnitt das ideale Verhältnis für die Seiten eines vom Auge als besonders angenehm empfundenen Rechtecks ist. Die Seiten der rechteckigen Vorderfront des Parthenon stehen in diesem Verhältnis ist, und es taucht auch sonst in der griechischen Architektur auf.“ (Devlin)11

 

 

 

Auch das Intervall der Durterz beruht auf einer Seitenteilung im Goldenen Schnitt … Den Goldenen Schnitt finden wir auch an allen körperlichen Körperabmessungen wieder (Oberarmlänge im Verhältnis zur Unterarmlänge). Wenn der Mensch Arme, Beine und Kopf gleichmäßig ausrichtet, steht er im Fünfeck, Der Mensch ist harmonisch aus dem Kosmos herausgearbeitet.“ (Gorrissen)12

 

 

 

Platonisches Jahr
Der Atemrhythmus hat einen kosmischen Bezug. Bei 18 Atemzügen in der Minute atmet der Mensch in 24 Stunden 25920 mal ein und aus. Das sind so viele Atemzüge wie die Sonne Jahre braucht, um einmal durch den gesamten Tierkreis des Sternenhimmel zu wandern. Entspricht also ein Vollkreis mit 360 Grad den 25920 Jahren, so entspricht 1 Grad 72 Jahren, dem durchschnittlichen Lebensalter eines Menschen.

 

 

 

Mathematische Gesetzmäßigkeiten

 

und ihre Konkretisierungen in der physischen Welt
Das Periodensystem von Dimitri Mendelejew
„Spielt das Zahlensystem, bei dem auf 1 die 2 folgt, auf 2 die 3, usw. in der Natur eine Rolle? Ein Forscher war von dieser Idee geradezu besessen: der russische Chemiker Dimitri Mendelejew. Er setzte sich in den Kopf, mit Hilfe einer einfachen Zahlenreihe dem Geheimnis der chemischen Elemente auf die Spur zu kommen. Als er sich 1869 an die Arbeit machte, waren ganze 65 chemische Grundstoffe – Elemente – bekannt … Zwischen einigen der 65 Elemente gab es gewaltige Zahlensprünge. Sie ließen sich nicht in einer lückenlosen Zahlenreihe anordnen. Es musste in der Natur noch unentdeckte Elemente geben.“13

 

 

 

Er sollte mit seiner Vorhersage Recht behalten. 1875 entdeckte man das Gallium, das genau die Eigenschaften besaß, die Mendelejew vorhergesagt hatte. Sein Phantasieelement „Eka-Bor“ wurde als Scandium vier Jahre später entdeckt.

 


Übrigens: Ohne von Arbeiten seines russischen Kollegen etwas zu wissen, kam der deutsche Chemiker Lothar Meyer auf das exakt gleiche Ergebnis.

 

 

 

Mathematische Beschreibung des Elektrons
1928 hatte der englische Physiker Paul Dirne für die mathematische Beschreibung des Elektrons eine Wellengleichung gefunden, die neben einem positiven auch ein negatives Ergebnis erbrachte. Nach langem Zweifel hatte er die Idee. Er musste neben den normalen Elementarteilen auch Antiteilchen geben, mit exakt der gleichen Masse, aber auch mit entgegengesetzten physikalischen Eigenschaften. Sie wurden von den Forschern tatsächlich gefunden.

 

 

 

Die imaginäre Zahl
Carl Friedrich Gauss erfand die „imaginäre Zahl“. Er kümmerte sich nicht darum, wie eine solche Zahl aussehen sollte, ihn interessierte nur, ob man damit rechnen konnte.

 

 

 

Obwohl die Zahlen in kein mathematisches System passten, entwickelte er dafür eigene Rechenregeln und nannte die neue Wissenschaft „komplexe Algebra“ (für die meisten seiner Zeitgenossen verrückt). Nun das Ungeheuerliche: Die einst so abwegigen Rechenregeln und Formeln … beschreiben auf unglaublich exakte Weise die physikalischen Gesetze in der Elektrotechnik. Und nicht nur das: Beschleunigungen und andere Kräfte in der Natur lassen sich mit ihr geradezu spielerisch berechnen.“ (Deissinger)14

 

 

 

Gänseblümchen und Zahlenkolonnen

 

 

Was hat ein Gänseblümchen mit sturen Zahlenkolonnen? Sehr viel!

 

 

 

Die logarithmischen Zahlen finden sich in fast allen Gesetzen der lebendigen Natur wieder, sei es beim Wachsen eines Schneckenhauses oder eines Elefantenzahnes oder eines Gänseblümchens.

 

Die FIBOACCI Folge

 

 

1,1,2,3,5,8,13.21,34,55,89,144,233, usw. usw. treffen wir bei vielen in der Natur ungestört ablaufenden Prozessen an, z.B. bei der Entwicklung von Populationen, der Nachkommenschaft des einzelnen Kaninchenpaares oder bei der Ausdehnung einer Epidemie oder Spiralwindungen eines Schneckenhauses ... Der mathematische Zusammenhang zwischen dieser einfachen Folge und kompliziertesten Problemen konnte erst viele Jahrhunderte später geklärt werden.

 

 

 

Bis zum heutigen Tag gehen immer wieder Künstler davon aus, dass mit Hilfe von FIBONACCCI Zahlen hergestellte Kunstwerke einen naturgesetzlich begründeten ästhetischen Reiz auf die Menschen ausüben.“ (Guderian)15

 

 

 

Verwundert es da noch, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgenden FIBONACCI Zahlen sich dem Goldenen Schnitt annähert, wenn die Zahlen genügend groß sind?

 

 

 

 

 

 

 

So weit Marion König in der Vorlage zu einer Konferenz an der Grundschule Harmonie. Wir sind ihrer Linie nicht gefolgt.

 

 

 

Wir beschlossen, gegen sie, den Kindern der Grundschule den Zugang zu den Computern nicht nur zu ermöglichen, sondern rüsteten jede Klasse mit mindestens fünf an das Netz angeschlossene und immer zugängliche Computer aus. Unser Motto war, dass „die Kinder etwas beherrschen lernen, was sonst sie beherrscht“.

 

 

 

Marion König wollte Schule verändern. Ihr Weg war nicht das Zurückstellen der Lehre durch Lehrer*innen und Lehrpläne. Sie wollte keine Betonung des selbständigen freien Lernens der Kinder. Sie wollte Schule eben durch Veränderung der Lehrmethoden verändern.

 

 

 

Als sie von einer Schulrätin zur Schulleiterin mit einem SEHR GUT revidiert wurde, sagte ich der Schulrätin, dass es verschiedene Meinungen gibt.

 

 

 

Sie war eine tolle Musiklehrerin, was sie an 'ihrer' Schule mit Erfolg lebte.“

 

 

 

Walter Hövel

 

 

 

 

 

 

 

1 Marion König machte ein Jahr später ihre eigene kleine Grundschule im Nachbarort. (Fußnote von Walter Hövel)

 

2Keith Devlin, Muster der Mathematik, Heidelberg-Berlin 1998, S.3

 

3Ernst Deissiger, In: Gerd Oberdorfer, Phänomonale Mathe-Magie, Bern 1994, S.22ff

 

4Karl Popper, Alles Leben ist Problemlösen, Zürich 1994, S. 86

 

5J.Polkinghorn, In Keith Devlin. a.a.O., S.9

 

6Über 20 Jahre später erzählte mir Alexander Lubomirski, dass schon in der Zeit der Römer, als auch früher und später, das Gastrecht der Menschen eine große Rolle spielte, da Menschen wanderten. Sie hatten das Recht „privat“ als auch in Gasthäusern ohne Gefahr für ihr Leben untergebracht und ernährt zu werden. Dabei beZAHLten sie oft mit Informationen. Diese Wanderer waren die einzige Quelle für neues Wissen. Neben Geld, auf dem eine ZAHL stand, war das ErZÄHLen also konkretes Mittel der BeZAHLung. (Walter Hövel als Abschreiber)

 

7Heinrich Benedikt, Die Kabbala, Freiburg 1985, S.322

 

8Gisela Gorrissen, Astrologie und Antroposophie Band II, Wuppertal 1994, S.23

 

9Dr. med. Olaf Titze, In: Weleda Nachrichten 179, 1990, Menschliche und außermenschliche Rhythmen, S.3

 

10Dietmar Guderian, Mathematik in der Kunst, Ebringen, o.J, S. 249

 

11Keith Devlin, a.a. O., S.126

 

12Gisela Gorrissen, a.a.O., S.82f

 

13Leider fehlt hier eine Eingabe. (Walter Hövel)

 

14Ernst Deissinger, a.a.O., S.22f

 

15Dietmar Guderian, a.a.O., S. 17